jueves, diciembre 25, 2003
Divisibilidad y más...
Literses:
... Hijo de Midas, era buen segador y desafiaba a los extranjeros a segar con él, y si les vencía los mataba a golpes de hoz. Fue vencido por Heracles, que lo mató y arrojó su cuerpo al Meandro.
Temperamental, esforzado, un poco tirando a chulo
y un mucho casquivano,
era el buen mozo Literses,
veloz segador de hoz.
Camino del río Meandro
su cabeza volatinera,
cayo en la enojosa cuenta:
Don Heracles segome con arma de "Parca"
Y con muy buena maña, cortó con guadaña
dos eminas[1] más que yo.
En Mileto City,
donde el río es meada a la mar,
corre la voz no desmentida
de que una cabeza perdida
en el acto de navegar gritaba:
"Trampa. Puta trampa. Celada de bujarron.
Donache fullero.
Donache manso, ganso y cabrón,
que por consentir,
en traje de meretriz
visto le tengo yo"
Mañanea el día.
Ligeras nubecillas aborregan el horizonte.
Julio y veintidós, Santos Platón y Cirilo.
Después de descabezar grano en casa ajena,
bien esta llenar la propia alacena.
"Intendente.
Dad noticia a los rústicos de la casa:
Segar.
Recolección y trilla.
Arrancar habas y garbanzos.
Atar las lechugas para que blanqueen.
Tenga la mesa:
Albaricoques y almendras,
melocotones y ciruelas claudias.
Vigiar la nuez y secar el laurel"
Junto a la ventana emparrada
esperando desayuno,
Don Heracles se ajusta las antiparras,
regüelda y se destripa un grano.
Sobre la mesa Almanaque de Lunas y
Calendario Zaragozano.
De espaldas, la repostera
se arrasca las verijas...
con la espumadera.
L. Seral Amaz en "Los doce esfuerzos y seis cagadas de Monseñor Heracles" , texto que acompaña a las ilustraciones del catalogo de una exposición sobre "Arte Grecorromano"
[1] Ha poco me regalaron un opúsculo con más de 130 años cuya portadilla reza:"Reducción de las pesas y medidas mas usuales de las 49 provincias de España, al nuevo sistema métrico decimal. En cada plana se explican los dos sistemas antiguo y moderno, de las diferentes provincias, puesto al alcance de todas las clases de la sociedad". De disponer de tiempo adecentare un poco el texto y os lo pondré en una posada.
Voy con el tiempo medido, así que salgamos del paso... Van unos días en los que la cartera que me acompaña al trabajo pesa más de lo debido. Son las piedras; las piedras que llevo en ella. Nadie me pregunte por el por qué de este suma y sigue tan incongruente. No lo sé. Ocurre sin embargo que, a la consuetudinaria hora del almuerzo, en lugar de leer la prensa del día me ha dado por meter los ojos, al azar, en las obras de Spinoza, Locke, Descartes, D'Alambert, Kant y Voltaire. ¿Cabe mayor disparate? Porque seguro estoy de no hacerlo por resultar mejor equipado intelectual y psicológicamente, eso me importa un huevo. Seguramente bogo hacia la playa de la senilidad..., yo qué sé; me lo haré mirar. Hoy por ejemplo, sobre la mesa: Churros y café, publicidad sobre cuyo sosegante reverso blanco tomo alguna nota sobre estas cosas que os pongo, estadillos sobre el rendimiento de las válvulas de la cámara de evaporación al vacío de una planta azucarera, pluma, calculadora y un libro de Voltaire, "Dialogues Philosophiques", abierto por lo que en su día fue un simple folleto titulado "El destierro de los jesuitas desde China". La cosa es bufa: trata de un misionero de nombre Rigoleto, que intenta explicar la cosa esa de la Trinidad cristiana al señor emperador de China. Me permito unas líneas porque, lo creáis o no, tiene que ver con la teoría de conjuntos. Tal os lo pondré otro día.
RIGOLETO:... Dios se convirtió en palomo para engendrar un hijo en la mujer de un carpintero y este niño es el mismo Dios.
EMPERADOR: Pero, según mis cuentas, tenemos dos dioses: un carpintero y un palomo.
RIGOLETO: En efecto, señor; pero hay también un tercer Dios, que es el padre de estos dos y a quien representamos con una barba majestuosa. Este es el Dios que ordenó al palomo que engendrara un hijo en la mujer del carpintero, de la cual nació el Dios carpintero. Pero, en realidad, estos tres dioses son un solo Dios. El padre engendró al hijo antes de que estuviera en el mundo; por consiguiente, el hijo fue engendrado por el palomo y el palomo procedía del padre y del hijo. Pero, Vos podéis ver con vuestra sabiduría que el palomo que procedía, el carpintero que nació del palomo y el padre que engendró al hijo del palomo, no pueden ser más que un Dios, y que el hombre que no crea esta historia merece ser quemado en este mundo y en el otro.
EMPERADOR: Está muy claro. Un Dios nacido en un establo, hace X años, entre un buey y una mula, otro Dios en un palomar, un tercer Dios del que proceden los otros dos, y que no es más viejo que ellos a pesar de su barba blanca, una virgen madre..., nada puede ser más simple ni más razonable.
Genio y Figura.
Decía en la posada anterior que "Gaucho" es un loro desquiciado al que, vete tu a saber por qué, le gusta el fútbol. Lo cual que cuando hay partido es costumbre que baje a mi casa para verlo. Baja con Sergio, su dueño, claro. Aunque yo soy de la opinión, de momento no fundada, de que es capaz de bajar por iniciativa propia, acomodarse donde le plazca y gritar "goool" como un poseso en el momento más inapropiado. Cuesta creerlo, pero esta gallina con plumas de colores a la que llaman loro, es capaz de volver mochales al santón más pintado. Es tan peculiar y enajenante que me tiene encandilado. Con fútbol o sin él, Sergio -no el loro- es un habitual de mi casa. Suele bajar a coger juegos o libros que mis chicos han arrinconado, a pegar la hebra con mi hija y sus amigas, a llamar clandestino por teléfono, a tomar ejemplo -"muy mal ejemplo"- de mis hijos y a hacer gimnasia con ellos: levantar pesas y mariconadas de esas, a pintar miniaturas de aviones y soldados en mi mesa de dibujo, a escribir correos a sus primos de Milán y a comer calamares. Si estoy en casa también baja, cuando lo precisa, para que le ayude con las tareas escolares.
Tareas escolares, si, física, matemáticas, gramática y esas cosas... Cierto que lo mucho que me queda por aprender (o puede que una paralizante inepcia mal interpretada) me incapacita como pedagogo, pero con Sergio pongo voluntad en el intento, que es un chaval lleno de curiosidad y abierto al conocimiento. Buen estudiante, en el colegio pugna por ser el numero uno con un muchacho ucraniano: este lleva bastante menos tiempo en España, de ahí que con las matemáticas que se enseñan en Harkov aun frescas en la mollera vaya unos cuantos pasos por delante. Natural, pues este es un país secularmemte anaritmetico (Tardía aparición de clases medias ilustradas; recalcitrante cientificofobia; desapego por la inteligencia innovadora; jesuitismo y obediencia ciega; primacía de lo clerical y forense sobre lo experimental y cartesiano...). Con todo, la razón actual y profunda está más allá de mi entendimiento, aunque si comparo los textos hoy en uso con aquellos con los que yo me formé, algo puedo intuir. Falta disciplina en el esfuerzo y base. Se conoce que los muñidores de los últimos planes de estudios, en un vaniloco intento por democratizar el conocimiento, que no es democratizable, puesto que depende de la voluntad y del esfuerzo personal, mojaron la pluma en el lugar equivocado y siguieron al dictado modelos pedagógicos foráneos que no estaban probados. Imitando pésimamente, como siempre. Convengo en la excelencia de la justicia social y de la igualdad de oportunidades, pero de ahí a defender, como han hecho los pedagogos "progresistas" de las ultimas hornadas, que el exceso de conocimiento es una artimaña para que determinados grupos sociales aventajen a otros, va un largo trecho; el largo trecho que va, por ejemplo, entre una excusa y una explicación. Además de que es contrario a la praxis diaria. Por otra parte, nada hay que haga más dudoso un sistema educativo que la existencia de una motivación partidista y dogmática.
Veo en los libros de Sergio mucho colorin y excesiva abstracción de las teorías más simples y básicas. El libro de este año es un cuento ilustrado que va dando bandazos entre gran numero de temas que nada tienen que ver con la quintaesencia de los números y de las operaciones aritméticas más básicas. Diré más: Es mejor libro de Sociales que de Matemáticas. Con tal mamotreto pinturero se aprende antes sobre la vida de las grullas que a extraer una simple raíz cuadrada. Se conoce que el escolar moderno esta exento del esfuerzo que representa el ejercicio del calculo
(¿Alguien con dos dedos de frente es capaz de creer que puede aprenderse matemáticas sin recorrer, paso a paso, la senda llena de vericuetos del álgebra clásica? La verdad, señores: No y no; rotundamente no. Como punto de partida básico -no digo con posterioridad y en su momento- la cacareada teoría de conjuntos y todas esas cosas de las estructuras algebraicas son una mamarrachada, un espejismo que de ningún modo hacen el aprendizaje más profundo, natural y sencillo. Tal método, a la vista esta, se ha revelado como torpe e improductivo. Claro, que los motivos que llevaron al cambio no parecen haber sido didácticos ni prácticos, sino partidistas y oscuros) y de la memoria.
Tanto zumbar de abejas lo rematare aquí, que, de seguir con ello, me veo en la cara oculta de la luna midiendo sinclinales y calculando paralajes... Dejemos pues los furtivos comadreos de sala de profesores y vayámonos a algo más perspicuo y apropiado. Veinte días, veinte; ese es el plazo con el que cuenta mi voluntarioso vecino para presentar un trabajo que le aúpe al numero uno de la clase. Y merced a esa contingencia, es que hayamos decidido jugar con las propiedades de los números. Esto, claro esta, de acuerdo con el programa escolar trimestral, que no parece exigir demasiado. Su trabajo será oral. Mágico. Matemagico, por hablar con propiedad.
1. DE LAS CUALIDADES QUE HACEN A UN NUMERO DIVISIBLE POR OTRO-S
Tomemos un número de tres cifras al azar. 482, por ejemplo. Ahora escribámoslo repetido a su derecha, con lo que obtendremos 482482.
Dividámoslo ahora por 13 y quedémonos con el resultado:
482482:13 = 37114.
Dividamos ahora este resultado por 11 y anotemos su cociente:
37114:11 = 3374.
Hagámoslo ahora por 7 y observemos su resultado:
3374:7 = 482 o número inicial.
¿Y esto por qué?
Bien, el numero 482482 es el resultado de multiplicar 482X1001.
O (482X1000) + 482.
Veamos ahora, a modo de juego y no como exégesis, que divisores tiene el numero 1001, pero antes recordemos que la divisibilidad tiene por objeto hallar "reglas sencillas" para conocer si un número puede dividirse por otro, o sea si es múltiplo de ese otro. De acuerdo a estas reglas el número 1001 no es divisible por 2, 3, 4, 5, 6... ¿Pero lo será por 7? ¿Qué regla utilizaremos para saberlo?
Observemos que ocurre cuando a la izquierda de un numero se escribe el duplo de su valor:
1->21; 2->42; 3->63; 4->84; 5->105..., que resultan, fácil es verlo, múltiplos de 7.
Es decir, si la cifra es n, el número así formado constara de 2n decenas y n unidades.
O sea:20n + n.
Pero:
20n + n = 21n =7M(múltiplo)n = M7
Ejemplo:(nº46) -> (20X46) + 46 = 920+46 = 966, que debe de resultar y resulta múltiplo de 7.
Aplicando lo visto es sencillo averiguar si un número cualquiera, en nuestro caso 1001, es divisible por 7. Para ello basta formar con la primera cifra de la derecha un número divisible por 7, y restarlo del numero dado:
1001
-021
0980
Siendo la suma del sustraendo y el resto igual al minuendo, tenemos la igualdad:
21+980 = 1001
El sumando 21 es evidentemente múltiplo de 7; si lo fuera también el otro sumando (980), lo será también la suma 1001, lo cual ocurre.
Siendo inútil el cero, la operación anterior puede reducirse a la siguiente:
100-2 = 98->M7.
Si el número dado consta de muchas cifras, se repite la operación hasta obtener un número suficientemente sencillo para que sepamos si es o no divisible por 7.
Ejemplo: A = 16751; B = 64277.
A:
16751
2
1673
6
161
2
14
B:
64277
14
6413
6
635
10
53
"A" lo es, por ser 14 múltiplo de 7; "B" no lo es, por no serlo el número 53.
Pero sigamos con nuestro original propósito.
Nuestro 1001, y, siguiendo haciendo pruebas de divisibilidad, tampoco lo es por 8, 9 y 10. Centrémonos entonces en el 11, número sobre el que hay que hacer un par de precisiones:
PRIMERA: Un número formado por la unidad seguida de ceros, es un múltiplo de 11, más o menos uno. Una chorrada por cierto muy conveniente. Veámoslo:
10 = 11-1; 100 = 99+1; 1000 = 1001-1; 10000 = 9999+1... (Obsérvese que si el numero de ceros es impar, el número dado es un múltiplo de 11, menos uno; si el número de ceros es par, es un múltiplo de 11, más uno)
SEGUNDA: Un número formado por una cifra cualquiera seguida de ceros, es un múltiplo de 11, más o menos el valor de dicha cifra. ¿A que parece un lema semejante al anterior? Pues no lo es, porque a partir de él podemos colegir que un número es divisible por 11, cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras que ocupen la posición par, de derecha a izquierda, menos la suma de de las cifras de lugar impar, resulte cero o múltiplo de 11.
Hacer la prueba con nuestro conejillo 1001, se me antoja ocioso, así que elegiré otro número para la posterior demostración. El 43725 p.e.
43725 = 40000+3000+700+20+5, que yo sepa. Pero según lo que hemos visto con anterioridad.
40000 = M11+4 (Si, coño, si , 40000-4 = 39996, que dividido entre 11 es 3636)
3000 = M11-3
700 = M11+7
20 = M11-2
5 = 5
O sea, que sumando con los dedos obtenemos:
43725 = M11+(4+7+5-3-2)
Pero digo yo que siendo el resultado del paréntesis que he puesto igual a once, el jodido numero dado también debe de ser múltiplo de 11, lo que viene a demostrar la veracidad de lo que, a desgana, arriba he apuntado.
Dicho esto ni me molesto en decir por qué el número 1001 es también divisible por 13.
Pero daré una pista: 1001 = 7 X 11 X ?
2. DE NOMBRES PROPIOS Y SUCESIONES
Sucesión es un termino polisemico; pero aquí unicamente vamos a interesarnos -a menos que algún tipo generoso quiera invitar a unas copichuelas en el "The Succession", un local no recomendado para tibios que se encuentra a orillas del lago Washoe, en una desviación que hay en la Ruta 395, entre Carson City y Reno- por su significado matemático. Luego para nosotros, así, a la pata la llana, sucesión es un conjunto indefinido de valores numéricos o algebraicos ordenados según un criterio definido. Las señoras sucesiones imitan a la vida misma, las hay altas, bajas, sencillas, enigmáticas, predecibles, desconcertantes, etc. Toda sucesión tiene una ley que conforma el valor de sus elementos. Cuando el termino general de una sucesión se puede expresar en función de los términos inmediatamente anteriores, esta recibe el nombre de recurrente. Recurrente es la nuestra.
Hemos salido del aula, y cualquiera de los que en ella permanece ha lanzado al aire dos dados. Han salido el 6 y el 3. Nosotros no lo sabemos. Ahora pedimos, a ciegas, que un voluntario escriba en columna los dos números que el azar ha reportado: 6 y 3; y a continuación pedimos que debajo del segundo número escriba la suma de los dos anteriores (9), y así sucesivamente hasta conseguir una columna que contenga los primeros diez térrminos iniciales. En nuestro caso particular la cosa quedaría así:
1.- 6
2.- 3
3.- 9
4.- 12
5.- 21
6.- 33
7.- 54
8.- 87
9.- 141
10.- 228
Ahora, una vez terminada la columna, fijaremos un segundo la vista en ella e inmediatamente daremos el resultado de la suma de los diez términos. ¿Como y por qué?
Si llamamos a y b a los números iniciales de la serie (algunos la llaman de Fibonacci, pero no lo es y más adelante veremos la razón), los diez primeros términos serán:
a -> b -> a+b -> a+2b -> 2a+3b -> 3a+5b -> 5a+8b -> 8a+13b -> 13a+21b -> 21a+34b
Ahora, si sumamos estos (10) términos obtendremos el siguiente resultado: 55a + 88b. Lo cual que siendo 55 y 88 múltiplos de 11, podemos expresar como: 11(5a+8b). Pero 5a + 8b es el séptimo termino de la sucesión, como arriba he remarcado, de modo y manera que bastara multiplicar el séptimo termino (en nuestro caso 54) por 11 para hallar el total de la suma. 594 en el caso que nos ocupa. Multiplicar un numero por 11 es tarea sencilla: En nuestro caso, que la cantidad es dos cifras, basta con sumar estas y poner el resultado entre ambas. En caso de que la suma de ambos términos excediera de la decena se opera de igual manera: las unidades en el centro y las decenas agregadas a las decenas del numero con el que operamos. Ejemplo 88 X 11 = 8 8
16
968
Este método es valido para multiplicar cualquier numero por 11, con independencia del numero de cifras que tenga. En realidad solo es cuestión de practica.
Estas sucesiones cuentan con más propiedades. Me permito apuntaros una idónea para hacer trucos y además bastante llamativa: Tomados cuatro números consecutivos cualesquiera de la sucesión A, B, C y D, se verifica la siguiente identidad: C^2 - B^2 = A X D.
Operemos con nuestros propios números: A=12; B=21, C=33; D=54. (Como ejemplo)
33^2 - 21^2 = 1089 - 441 = 648, que debe de ser igual a:
12 X 54 = 64
Valor y a seguir. Releo lo que hasta aquí he puesto y veo que, a parte de un par de promesas que debo cumplir, la posada queda un poco coja. Esto de hilvanar lo que se escribe a ratos perdidos tiene su dificultad. Extravagante intención la mía. La gente, lo sé, gusta de leer las cosas como si de anuncios se tratara: de un vistazo único y definitivo.
Pero íbamos a las sucesiones recurrentes aderezadas con algún que otro nombre propio y no a otro de esos dislates que en ocasiones se me ocurren. Parece ser que la primera sucesión recurrente documentada y enunciada como un problema de fertilidad entre conejos, es debida a Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, que significa hijo de Bonaccio; aunque el mismo, en un acto de humildad, se hacía llamar "Bigolio", que viene a significar algo así como "bueno para nada". Hijo de un empleado de una casa comercial pisana que operaba en el puerto de Bogia (Argelia), Leonardo tuvo la oportunidad de formarse en matemáticas con maestros arabes, los mas sobresalientes y adelantados de la época. Recuérdese que tomando como modelo a la Escuela de Alejandría y el hospital indopersa de Chundisapur, los árabes, en los inicios de su incorporación al cientificismo, crearon observatorios y bibliotecas donde sus asociados dedicaron gran parte de su actividad a la copia y traducción de textos científicos que, en su mayoría, eran griegos, aunque no faltaran ni los sánscritos ni los chinos. Se puede decir que en los dos siglos anteriores al apocalíptico año 1000, la ciencia árabe, laica y espontanea, fue una fuerza en constante expansión (conquistas, migraciones, comercio, etc.) Por el contrario, la ciencia occidental, anclada al pasado y recluida tras las invasiones bárbaras en las instituciones monásticas, no iniciaría su despegue -y acaso laicización- hasta entrar en contacto con la cultura andalusi de los siglos XI-XIII. Aquí debo de añadir un comentario: En los albores del s.XII, hubo un visir en Bagdag (esa ciudad de cultura milenaria que tanto sale mancillada y herida en los putos y gubernamentales telediarios) que fundó un tipo de estudios superiores; les llamo madarsa y para no pocos es el precedente de las Universidades occidentales.
Sobre la opinión que de la cultura árabe tenían los sabios cristianos y occidentales, no me resisto a copiar unas líneas del gran Abelardo de Bath, cuasi-contemporáneo de nuestro buen Fibonacci:
"De mis maestros árabes aprendí a ser guiado por la razón; vosotros, sin embargo, cautivados por la creencia de la autoridad, seguís a vuestro cabestro. ¿Qué otro nombre que el de cabestro puede darse a la autoridad? Ya que de la misma manera que los brutos son conducidos donde uno quiere por un cabestro, así también la autoridad de los sabios del pasado conduce a algunos de vosotros al peligro, pues estáis sometidos y atados por la credulidad [...] ¿Como no habéis de llenar rollos de pergamino y escribir por ambos lados cuando en esta época hay multitud de oyentes que sólo confían si se cita un viejo título?
Oigan, y esto que me resulta de la máxima actualidad..., aunque en sentido estricto fuera un reproche a la sumisión acritica y ciega existente hacia las trasnochadas ideas de los sabios de la antigüedad, resumida en el aforismo "magister dixit", de gran vigencia durante la Edad Media y, a modo de chufla, utilizado por servidor para encabezar estas posadas que os pongo. Pero sigamos con nuestro suma y sigue particular: Antes que arrugarse y permanecer con el culo pegado al escaño, anotando idas y venidas de mercaderías o gastando cálamo y papel (Descubierto según los libros - o la tradición - por el chino Ts'ai Lun, empezó a fabricarse en el Turquestán Oriental en el siglo V; a finales de los años cincuenta del siglo VIII se documenta su fabricación en Samarcanda por artesanos chinos, con toda probabilidad cautivos de guerra. A través de Iraq y de Egipto llega a Túnez en tiempo de los aglabíes, esto es, antes del 909, y a al-Andalus antes de mediado el siglo X) en el garrapateo apresurado de notaciones numerales que ningún occidental entendía, nuestro buen Leonardo, a lomos de caballareria y con su inseparable ábaco insaculado bajo el brazo, perfecciona y acrecienta sus conocimientos viajando por Grecia, Siria, Egipto, Sicilia y el sur de Francia. Lugar, este ultimo, donde me gusta suponer, tuvo un encuentro con las traducciones sobre ciencia de Platón de Tívoli, uno de aquellos estudiantes-traductores vaganti que desarrollo su labor en Barcelona; porque en la obra de Fibonacci, como es natural dada la penuria documental sobre la época, es tarea casi imposible discernir, entre lo original y propio, y lo trasladado mediante el conocimiento de las pertinentes traducciones de los clásicos y orientales. A estas alturas no está de más hacer notar que, sobre la aparición en Occidente del sistema actual de representación de los números, se carece de toda precisión respecto a como, donde, cuando y en qué forma aparecieron estas cifras. Claro, que algo podemos llegar a intuir, si seguimos con atención lo que Juan Vernet Gines apunta en su impagable "HISTORIA DE LA CIENCIA ESPAÑOLA" al hablar del camino seguido para la introducción en Europa de determinados elementos culturales, así como de la superioridad cultural de los monasterios hispánicos respecto a los demás del mundo cristiano: "El análisis del manuscrito misceláneo 225 de Ripoll permite intuir el nombre de alguno de los autores traducidos, como, por ejemplo, Masallah y Abd al-Rahman al-Sufí, de los cuales resumieron sus obras sobre el astrolabio y es de suponer que construyeron, siguiendo sus instrucciones, alguno de estos instrumentos v.g., el astrolabio de Destombes, que, de ser auténtico, sería uno de los más antiguos, si es que no el más antiguo de los conocidos y de él -de su escritura uncial visigótica- derivarían las figuras de las cifras árabes de Occidente, que el monje Vigila, asistente a la consagración de Ripoll (977), habría llevado a su propio monasterio, Albelda, desde donde se habrían difundido también en todas direcciones"
Hacia el año 1200, bien cargado de experiencia aritmetica, Leonardo regresa a Pisa y da principio a una serie de obras que el tiempo, al menos en parte, parece haber respetado. De 1202 es el renombradisimo "Liber Abaci", del que hizo un refrito en 1228 para dedicárselo con todas la de la ley a Miguel Scoto, uno de esos vivalavirgen que se pegaban como lapas a los poderosos y levantaban horoscopos y chorradas de esas. El "Liber Abaci", fundamentalmente pensado para mercaderes y comerciantes, esta conformado por quince capítulos que, para que os hagais una idea de su manifiesta simplicidad, paso a enumerar:
Cap. 1: Lectura y escritura de los números en el sistema hindo-arábigo.
Cap. 2: Multiplicación de números enteros.
Cap. 3: Suma de números enteros.
Cap. 4: Resta de números enteros.
Cap. 5: División de números enteros.
Cap. 6: Multiplicación de números enteros por fracciones.
Cap. 7: Fracciones.
Cap. 8: Precios de las mercancias más comunes.
Cap. 9: Comercio.
Cap. 10: Relaciones de parentesco.
Cap. 11: Conversión de monedas.
Cap. 12: Problemas y soluciones.
Cap. 13: Regla de la falsa posición.
Cap. 14: Raíces cuadradas y raíces cúbicas.
Cap. 15: Proporciones, geometría y álgebra.
Algunos de los problemas propuestos en el "Liber Abaci" han sido incorporados al acerbo cultural disfrazados de adivinanzas o chascarrillos. Pondré, a modo de ejemplo, uno que solía plantearnos una de mis abuelas. Dice así: "Siete viejas viajan a Roma y cada una de ellas lleva siete mulas. Cada mula lleva siete sacos y en cada uno de ellos hay siete piezas de pan. En cada pan hay siete cuchillos y cada uno de ellos tiene siete dientes. ¿Cuántos dientes de cuchillo viajan a Roma?" Otros, es posible rastrearles hasta casi los inicios de la escritura; tal que el problema de la lanza, que se encuentra ya en una tablilla cuneiforme de de la I dinastía de Babilonia (c.200 a.c): "La punta de una lanza de veinte pies se apoya en una torre con la base a doce pies de distancia. Si la punta ha bajado cuatro pies, ¿cuanto se ha alejado su base del pie de la torre?" El correr del problema (por traducción) esta probado a través de los griegos, los árabes y entra en Occidente, como se ve, merced al "Liber Abaci". De las variantes más conocidas de este problema, que las tiene, puede citarse la que se encuentra en el comentario de Proclo al primer libro de Euclides.
Y, efectivamente, es en este libro donde Leonardo enuncia y da solución al famoso problema de los conejos que da nombre y origen a la serie o sucesión de Fibonacci, conocida hoy gracias al matemático francés, Edouard Lucas, un tipo interesado en la teoría de números que gustaba de escudriñar en viejos textos para recopilar problemas matemáticos que resultaran recreativos a la vez que educativos. La sucesión de Fibonacci es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ..., y no otra. Luego la que más arriba he apuntado, con los términos 6 y 3 como inicio, no es en puridad "la" sucesión de Fibonacci, con independencia del método para la formación de sus infinitos términos.
Sin entrar al trapo de los apologistas que sostienen que son menos los libros de Fibonacci conocidos que los perdidos, decir que de 1220 es "Practica geometriae", en el que aplica el nuevo sistema aritmético para la resolución de problemas geométricos. "Flos", un libro en el que soluciona algunos problemas propuestos mediante el uso de ecuaciones cuadradas y cúbicas, parece ser de 1225. Aunque he visto fechas contradictorias, el "Liber quadratorum", un brillante examen sobre las ecuaciones indeterminadas de 2º grado dedicado a Federico II, parece datar de dos años más tarde, es decir de 1227. Este Federico (1194-1250. Emperador del Sacro Imperio Romano, hijo de Enrique VI y Constanza de Sicilia, de quienes heredo el reino del mismo nombre. Proclamado emperador en 1212 y coronado en 1215, abandonó los asuntos de Alemania para dedicar toda su atención a Sicilia, donde se rodeó de una corte de poetas, filósofos y hombres de ciencia. En 1226 renovó sus pretensiones imperiales sobre Lombardia. Dos años más tarde se armó cruzado y ciñó la corona de Jerusalén, lo que no impidió que iniciara la célebre lucha entre el Pontificado y el Imperio), el del famoso códice sobre medicina y farmacología, el cruzado , el enterrado en compañía, parece ser que conoció a Fibonacci de primera mano y que, con posterioridad, sostuvo una intensa relación epistolar con él. Esto no es baladí, puesto que la ciencia depende mucho de las formas y métodos reales de comunicación. Y, en la mente de todos está que, para el historiador de la ciencia, las cartas privadas del tipo que apunto son una de las fuentes más importantes para situar históricamente los descubrimientos y la difusión de las nuevas ideas.
3. DE LO QUE POR FALTA DE TIEMPO NOS QUEDA EN EL TINTERO
Que no es otra cosa que un tontear, al alibí, con los números cíclicos, esa intrigante panda nacida al socaire de los primos que, tan a mano, parece caer a ilusionistas y engañabobos. No hace falta que diga ni una palabra más; si tenéis a bien leer el enlace que he colocado, inmediatamente os daréis cuenta de la sorpresiva ventaja con la que mi joven amigo va a jugar.
En fin, hora de irse con la música a otra parte. Haré alguna compra de ultima hora, tomare un par de copichuelas con los colegas y regresare a casa. Encenderé el árbol de navidad, cenare moderado para no ponerme malito y, bien pertrechado en mi sillón, encenderé un buen cigarro y me daré a la lectura, completamente ajeno a si el mundo gira o no gira.
Venga, a pasarlo bien.
... Hijo de Midas, era buen segador y desafiaba a los extranjeros a segar con él, y si les vencía los mataba a golpes de hoz. Fue vencido por Heracles, que lo mató y arrojó su cuerpo al Meandro.
Temperamental, esforzado, un poco tirando a chulo
y un mucho casquivano,
era el buen mozo Literses,
veloz segador de hoz.
Camino del río Meandro
su cabeza volatinera,
cayo en la enojosa cuenta:
Don Heracles segome con arma de "Parca"
Y con muy buena maña, cortó con guadaña
dos eminas[1] más que yo.
En Mileto City,
donde el río es meada a la mar,
corre la voz no desmentida
de que una cabeza perdida
en el acto de navegar gritaba:
"Trampa. Puta trampa. Celada de bujarron.
Donache fullero.
Donache manso, ganso y cabrón,
que por consentir,
en traje de meretriz
visto le tengo yo"
Mañanea el día.
Ligeras nubecillas aborregan el horizonte.
Julio y veintidós, Santos Platón y Cirilo.
Después de descabezar grano en casa ajena,
bien esta llenar la propia alacena.
"Intendente.
Dad noticia a los rústicos de la casa:
Segar.
Recolección y trilla.
Arrancar habas y garbanzos.
Atar las lechugas para que blanqueen.
Tenga la mesa:
Albaricoques y almendras,
melocotones y ciruelas claudias.
Vigiar la nuez y secar el laurel"
Junto a la ventana emparrada
esperando desayuno,
Don Heracles se ajusta las antiparras,
regüelda y se destripa un grano.
Sobre la mesa Almanaque de Lunas y
Calendario Zaragozano.
De espaldas, la repostera
se arrasca las verijas...
con la espumadera.
L. Seral Amaz en "Los doce esfuerzos y seis cagadas de Monseñor Heracles" , texto que acompaña a las ilustraciones del catalogo de una exposición sobre "Arte Grecorromano"
[1] Ha poco me regalaron un opúsculo con más de 130 años cuya portadilla reza:"Reducción de las pesas y medidas mas usuales de las 49 provincias de España, al nuevo sistema métrico decimal. En cada plana se explican los dos sistemas antiguo y moderno, de las diferentes provincias, puesto al alcance de todas las clases de la sociedad". De disponer de tiempo adecentare un poco el texto y os lo pondré en una posada.
Voy con el tiempo medido, así que salgamos del paso... Van unos días en los que la cartera que me acompaña al trabajo pesa más de lo debido. Son las piedras; las piedras que llevo en ella. Nadie me pregunte por el por qué de este suma y sigue tan incongruente. No lo sé. Ocurre sin embargo que, a la consuetudinaria hora del almuerzo, en lugar de leer la prensa del día me ha dado por meter los ojos, al azar, en las obras de Spinoza, Locke, Descartes, D'Alambert, Kant y Voltaire. ¿Cabe mayor disparate? Porque seguro estoy de no hacerlo por resultar mejor equipado intelectual y psicológicamente, eso me importa un huevo. Seguramente bogo hacia la playa de la senilidad..., yo qué sé; me lo haré mirar. Hoy por ejemplo, sobre la mesa: Churros y café, publicidad sobre cuyo sosegante reverso blanco tomo alguna nota sobre estas cosas que os pongo, estadillos sobre el rendimiento de las válvulas de la cámara de evaporación al vacío de una planta azucarera, pluma, calculadora y un libro de Voltaire, "Dialogues Philosophiques", abierto por lo que en su día fue un simple folleto titulado "El destierro de los jesuitas desde China". La cosa es bufa: trata de un misionero de nombre Rigoleto, que intenta explicar la cosa esa de la Trinidad cristiana al señor emperador de China. Me permito unas líneas porque, lo creáis o no, tiene que ver con la teoría de conjuntos. Tal os lo pondré otro día.
RIGOLETO:... Dios se convirtió en palomo para engendrar un hijo en la mujer de un carpintero y este niño es el mismo Dios.
EMPERADOR: Pero, según mis cuentas, tenemos dos dioses: un carpintero y un palomo.
RIGOLETO: En efecto, señor; pero hay también un tercer Dios, que es el padre de estos dos y a quien representamos con una barba majestuosa. Este es el Dios que ordenó al palomo que engendrara un hijo en la mujer del carpintero, de la cual nació el Dios carpintero. Pero, en realidad, estos tres dioses son un solo Dios. El padre engendró al hijo antes de que estuviera en el mundo; por consiguiente, el hijo fue engendrado por el palomo y el palomo procedía del padre y del hijo. Pero, Vos podéis ver con vuestra sabiduría que el palomo que procedía, el carpintero que nació del palomo y el padre que engendró al hijo del palomo, no pueden ser más que un Dios, y que el hombre que no crea esta historia merece ser quemado en este mundo y en el otro.
EMPERADOR: Está muy claro. Un Dios nacido en un establo, hace X años, entre un buey y una mula, otro Dios en un palomar, un tercer Dios del que proceden los otros dos, y que no es más viejo que ellos a pesar de su barba blanca, una virgen madre..., nada puede ser más simple ni más razonable.
Genio y Figura.
Decía en la posada anterior que "Gaucho" es un loro desquiciado al que, vete tu a saber por qué, le gusta el fútbol. Lo cual que cuando hay partido es costumbre que baje a mi casa para verlo. Baja con Sergio, su dueño, claro. Aunque yo soy de la opinión, de momento no fundada, de que es capaz de bajar por iniciativa propia, acomodarse donde le plazca y gritar "goool" como un poseso en el momento más inapropiado. Cuesta creerlo, pero esta gallina con plumas de colores a la que llaman loro, es capaz de volver mochales al santón más pintado. Es tan peculiar y enajenante que me tiene encandilado. Con fútbol o sin él, Sergio -no el loro- es un habitual de mi casa. Suele bajar a coger juegos o libros que mis chicos han arrinconado, a pegar la hebra con mi hija y sus amigas, a llamar clandestino por teléfono, a tomar ejemplo -"muy mal ejemplo"- de mis hijos y a hacer gimnasia con ellos: levantar pesas y mariconadas de esas, a pintar miniaturas de aviones y soldados en mi mesa de dibujo, a escribir correos a sus primos de Milán y a comer calamares. Si estoy en casa también baja, cuando lo precisa, para que le ayude con las tareas escolares.
Tareas escolares, si, física, matemáticas, gramática y esas cosas... Cierto que lo mucho que me queda por aprender (o puede que una paralizante inepcia mal interpretada) me incapacita como pedagogo, pero con Sergio pongo voluntad en el intento, que es un chaval lleno de curiosidad y abierto al conocimiento. Buen estudiante, en el colegio pugna por ser el numero uno con un muchacho ucraniano: este lleva bastante menos tiempo en España, de ahí que con las matemáticas que se enseñan en Harkov aun frescas en la mollera vaya unos cuantos pasos por delante. Natural, pues este es un país secularmemte anaritmetico (Tardía aparición de clases medias ilustradas; recalcitrante cientificofobia; desapego por la inteligencia innovadora; jesuitismo y obediencia ciega; primacía de lo clerical y forense sobre lo experimental y cartesiano...). Con todo, la razón actual y profunda está más allá de mi entendimiento, aunque si comparo los textos hoy en uso con aquellos con los que yo me formé, algo puedo intuir. Falta disciplina en el esfuerzo y base. Se conoce que los muñidores de los últimos planes de estudios, en un vaniloco intento por democratizar el conocimiento, que no es democratizable, puesto que depende de la voluntad y del esfuerzo personal, mojaron la pluma en el lugar equivocado y siguieron al dictado modelos pedagógicos foráneos que no estaban probados. Imitando pésimamente, como siempre. Convengo en la excelencia de la justicia social y de la igualdad de oportunidades, pero de ahí a defender, como han hecho los pedagogos "progresistas" de las ultimas hornadas, que el exceso de conocimiento es una artimaña para que determinados grupos sociales aventajen a otros, va un largo trecho; el largo trecho que va, por ejemplo, entre una excusa y una explicación. Además de que es contrario a la praxis diaria. Por otra parte, nada hay que haga más dudoso un sistema educativo que la existencia de una motivación partidista y dogmática.
Veo en los libros de Sergio mucho colorin y excesiva abstracción de las teorías más simples y básicas. El libro de este año es un cuento ilustrado que va dando bandazos entre gran numero de temas que nada tienen que ver con la quintaesencia de los números y de las operaciones aritméticas más básicas. Diré más: Es mejor libro de Sociales que de Matemáticas. Con tal mamotreto pinturero se aprende antes sobre la vida de las grullas que a extraer una simple raíz cuadrada. Se conoce que el escolar moderno esta exento del esfuerzo que representa el ejercicio del calculo
(¿Alguien con dos dedos de frente es capaz de creer que puede aprenderse matemáticas sin recorrer, paso a paso, la senda llena de vericuetos del álgebra clásica? La verdad, señores: No y no; rotundamente no. Como punto de partida básico -no digo con posterioridad y en su momento- la cacareada teoría de conjuntos y todas esas cosas de las estructuras algebraicas son una mamarrachada, un espejismo que de ningún modo hacen el aprendizaje más profundo, natural y sencillo. Tal método, a la vista esta, se ha revelado como torpe e improductivo. Claro, que los motivos que llevaron al cambio no parecen haber sido didácticos ni prácticos, sino partidistas y oscuros) y de la memoria.
Tanto zumbar de abejas lo rematare aquí, que, de seguir con ello, me veo en la cara oculta de la luna midiendo sinclinales y calculando paralajes... Dejemos pues los furtivos comadreos de sala de profesores y vayámonos a algo más perspicuo y apropiado. Veinte días, veinte; ese es el plazo con el que cuenta mi voluntarioso vecino para presentar un trabajo que le aúpe al numero uno de la clase. Y merced a esa contingencia, es que hayamos decidido jugar con las propiedades de los números. Esto, claro esta, de acuerdo con el programa escolar trimestral, que no parece exigir demasiado. Su trabajo será oral. Mágico. Matemagico, por hablar con propiedad.
1. DE LAS CUALIDADES QUE HACEN A UN NUMERO DIVISIBLE POR OTRO-S
Tomemos un número de tres cifras al azar. 482, por ejemplo. Ahora escribámoslo repetido a su derecha, con lo que obtendremos 482482.
Dividámoslo ahora por 13 y quedémonos con el resultado:
482482:13 = 37114.
Dividamos ahora este resultado por 11 y anotemos su cociente:
37114:11 = 3374.
Hagámoslo ahora por 7 y observemos su resultado:
3374:7 = 482 o número inicial.
¿Y esto por qué?
Bien, el numero 482482 es el resultado de multiplicar 482X1001.
O (482X1000) + 482.
Veamos ahora, a modo de juego y no como exégesis, que divisores tiene el numero 1001, pero antes recordemos que la divisibilidad tiene por objeto hallar "reglas sencillas" para conocer si un número puede dividirse por otro, o sea si es múltiplo de ese otro. De acuerdo a estas reglas el número 1001 no es divisible por 2, 3, 4, 5, 6... ¿Pero lo será por 7? ¿Qué regla utilizaremos para saberlo?
Observemos que ocurre cuando a la izquierda de un numero se escribe el duplo de su valor:
1->21; 2->42; 3->63; 4->84; 5->105..., que resultan, fácil es verlo, múltiplos de 7.
Es decir, si la cifra es n, el número así formado constara de 2n decenas y n unidades.
O sea:20n + n.
Pero:
20n + n = 21n =7M(múltiplo)n = M7
Ejemplo:(nº46) -> (20X46) + 46 = 920+46 = 966, que debe de resultar y resulta múltiplo de 7.
Aplicando lo visto es sencillo averiguar si un número cualquiera, en nuestro caso 1001, es divisible por 7. Para ello basta formar con la primera cifra de la derecha un número divisible por 7, y restarlo del numero dado:
1001
-021
0980
Siendo la suma del sustraendo y el resto igual al minuendo, tenemos la igualdad:
21+980 = 1001
El sumando 21 es evidentemente múltiplo de 7; si lo fuera también el otro sumando (980), lo será también la suma 1001, lo cual ocurre.
Siendo inútil el cero, la operación anterior puede reducirse a la siguiente:
100-2 = 98->M7.
Si el número dado consta de muchas cifras, se repite la operación hasta obtener un número suficientemente sencillo para que sepamos si es o no divisible por 7.
Ejemplo: A = 16751; B = 64277.
A:
16751
2
1673
6
161
2
14
B:
64277
14
6413
6
635
10
53
"A" lo es, por ser 14 múltiplo de 7; "B" no lo es, por no serlo el número 53.
Pero sigamos con nuestro original propósito.
Nuestro 1001, y, siguiendo haciendo pruebas de divisibilidad, tampoco lo es por 8, 9 y 10. Centrémonos entonces en el 11, número sobre el que hay que hacer un par de precisiones:
PRIMERA: Un número formado por la unidad seguida de ceros, es un múltiplo de 11, más o menos uno. Una chorrada por cierto muy conveniente. Veámoslo:
10 = 11-1; 100 = 99+1; 1000 = 1001-1; 10000 = 9999+1... (Obsérvese que si el numero de ceros es impar, el número dado es un múltiplo de 11, menos uno; si el número de ceros es par, es un múltiplo de 11, más uno)
SEGUNDA: Un número formado por una cifra cualquiera seguida de ceros, es un múltiplo de 11, más o menos el valor de dicha cifra. ¿A que parece un lema semejante al anterior? Pues no lo es, porque a partir de él podemos colegir que un número es divisible por 11, cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras que ocupen la posición par, de derecha a izquierda, menos la suma de de las cifras de lugar impar, resulte cero o múltiplo de 11.
Hacer la prueba con nuestro conejillo 1001, se me antoja ocioso, así que elegiré otro número para la posterior demostración. El 43725 p.e.
43725 = 40000+3000+700+20+5, que yo sepa. Pero según lo que hemos visto con anterioridad.
40000 = M11+4 (Si, coño, si , 40000-4 = 39996, que dividido entre 11 es 3636)
3000 = M11-3
700 = M11+7
20 = M11-2
5 = 5
O sea, que sumando con los dedos obtenemos:
43725 = M11+(4+7+5-3-2)
Pero digo yo que siendo el resultado del paréntesis que he puesto igual a once, el jodido numero dado también debe de ser múltiplo de 11, lo que viene a demostrar la veracidad de lo que, a desgana, arriba he apuntado.
Dicho esto ni me molesto en decir por qué el número 1001 es también divisible por 13.
Pero daré una pista: 1001 = 7 X 11 X ?
2. DE NOMBRES PROPIOS Y SUCESIONES
Sucesión es un termino polisemico; pero aquí unicamente vamos a interesarnos -a menos que algún tipo generoso quiera invitar a unas copichuelas en el "The Succession", un local no recomendado para tibios que se encuentra a orillas del lago Washoe, en una desviación que hay en la Ruta 395, entre Carson City y Reno- por su significado matemático. Luego para nosotros, así, a la pata la llana, sucesión es un conjunto indefinido de valores numéricos o algebraicos ordenados según un criterio definido. Las señoras sucesiones imitan a la vida misma, las hay altas, bajas, sencillas, enigmáticas, predecibles, desconcertantes, etc. Toda sucesión tiene una ley que conforma el valor de sus elementos. Cuando el termino general de una sucesión se puede expresar en función de los términos inmediatamente anteriores, esta recibe el nombre de recurrente. Recurrente es la nuestra.
Hemos salido del aula, y cualquiera de los que en ella permanece ha lanzado al aire dos dados. Han salido el 6 y el 3. Nosotros no lo sabemos. Ahora pedimos, a ciegas, que un voluntario escriba en columna los dos números que el azar ha reportado: 6 y 3; y a continuación pedimos que debajo del segundo número escriba la suma de los dos anteriores (9), y así sucesivamente hasta conseguir una columna que contenga los primeros diez térrminos iniciales. En nuestro caso particular la cosa quedaría así:
1.- 6
2.- 3
3.- 9
4.- 12
5.- 21
6.- 33
7.- 54
8.- 87
9.- 141
10.- 228
Ahora, una vez terminada la columna, fijaremos un segundo la vista en ella e inmediatamente daremos el resultado de la suma de los diez términos. ¿Como y por qué?
Si llamamos a y b a los números iniciales de la serie (algunos la llaman de Fibonacci, pero no lo es y más adelante veremos la razón), los diez primeros términos serán:
a -> b -> a+b -> a+2b -> 2a+3b -> 3a+5b -> 5a+8b -> 8a+13b -> 13a+21b -> 21a+34b
Ahora, si sumamos estos (10) términos obtendremos el siguiente resultado: 55a + 88b. Lo cual que siendo 55 y 88 múltiplos de 11, podemos expresar como: 11(5a+8b). Pero 5a + 8b es el séptimo termino de la sucesión, como arriba he remarcado, de modo y manera que bastara multiplicar el séptimo termino (en nuestro caso 54) por 11 para hallar el total de la suma. 594 en el caso que nos ocupa. Multiplicar un numero por 11 es tarea sencilla: En nuestro caso, que la cantidad es dos cifras, basta con sumar estas y poner el resultado entre ambas. En caso de que la suma de ambos términos excediera de la decena se opera de igual manera: las unidades en el centro y las decenas agregadas a las decenas del numero con el que operamos. Ejemplo 88 X 11 = 8 8
16
968
Este método es valido para multiplicar cualquier numero por 11, con independencia del numero de cifras que tenga. En realidad solo es cuestión de practica.
Estas sucesiones cuentan con más propiedades. Me permito apuntaros una idónea para hacer trucos y además bastante llamativa: Tomados cuatro números consecutivos cualesquiera de la sucesión A, B, C y D, se verifica la siguiente identidad: C^2 - B^2 = A X D.
Operemos con nuestros propios números: A=12; B=21, C=33; D=54. (Como ejemplo)
33^2 - 21^2 = 1089 - 441 = 648, que debe de ser igual a:
12 X 54 = 64
Valor y a seguir. Releo lo que hasta aquí he puesto y veo que, a parte de un par de promesas que debo cumplir, la posada queda un poco coja. Esto de hilvanar lo que se escribe a ratos perdidos tiene su dificultad. Extravagante intención la mía. La gente, lo sé, gusta de leer las cosas como si de anuncios se tratara: de un vistazo único y definitivo.
Pero íbamos a las sucesiones recurrentes aderezadas con algún que otro nombre propio y no a otro de esos dislates que en ocasiones se me ocurren. Parece ser que la primera sucesión recurrente documentada y enunciada como un problema de fertilidad entre conejos, es debida a Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, que significa hijo de Bonaccio; aunque el mismo, en un acto de humildad, se hacía llamar "Bigolio", que viene a significar algo así como "bueno para nada". Hijo de un empleado de una casa comercial pisana que operaba en el puerto de Bogia (Argelia), Leonardo tuvo la oportunidad de formarse en matemáticas con maestros arabes, los mas sobresalientes y adelantados de la época. Recuérdese que tomando como modelo a la Escuela de Alejandría y el hospital indopersa de Chundisapur, los árabes, en los inicios de su incorporación al cientificismo, crearon observatorios y bibliotecas donde sus asociados dedicaron gran parte de su actividad a la copia y traducción de textos científicos que, en su mayoría, eran griegos, aunque no faltaran ni los sánscritos ni los chinos. Se puede decir que en los dos siglos anteriores al apocalíptico año 1000, la ciencia árabe, laica y espontanea, fue una fuerza en constante expansión (conquistas, migraciones, comercio, etc.) Por el contrario, la ciencia occidental, anclada al pasado y recluida tras las invasiones bárbaras en las instituciones monásticas, no iniciaría su despegue -y acaso laicización- hasta entrar en contacto con la cultura andalusi de los siglos XI-XIII. Aquí debo de añadir un comentario: En los albores del s.XII, hubo un visir en Bagdag (esa ciudad de cultura milenaria que tanto sale mancillada y herida en los putos y gubernamentales telediarios) que fundó un tipo de estudios superiores; les llamo madarsa y para no pocos es el precedente de las Universidades occidentales.
Sobre la opinión que de la cultura árabe tenían los sabios cristianos y occidentales, no me resisto a copiar unas líneas del gran Abelardo de Bath, cuasi-contemporáneo de nuestro buen Fibonacci:
"De mis maestros árabes aprendí a ser guiado por la razón; vosotros, sin embargo, cautivados por la creencia de la autoridad, seguís a vuestro cabestro. ¿Qué otro nombre que el de cabestro puede darse a la autoridad? Ya que de la misma manera que los brutos son conducidos donde uno quiere por un cabestro, así también la autoridad de los sabios del pasado conduce a algunos de vosotros al peligro, pues estáis sometidos y atados por la credulidad [...] ¿Como no habéis de llenar rollos de pergamino y escribir por ambos lados cuando en esta época hay multitud de oyentes que sólo confían si se cita un viejo título?
Oigan, y esto que me resulta de la máxima actualidad..., aunque en sentido estricto fuera un reproche a la sumisión acritica y ciega existente hacia las trasnochadas ideas de los sabios de la antigüedad, resumida en el aforismo "magister dixit", de gran vigencia durante la Edad Media y, a modo de chufla, utilizado por servidor para encabezar estas posadas que os pongo. Pero sigamos con nuestro suma y sigue particular: Antes que arrugarse y permanecer con el culo pegado al escaño, anotando idas y venidas de mercaderías o gastando cálamo y papel (Descubierto según los libros - o la tradición - por el chino Ts'ai Lun, empezó a fabricarse en el Turquestán Oriental en el siglo V; a finales de los años cincuenta del siglo VIII se documenta su fabricación en Samarcanda por artesanos chinos, con toda probabilidad cautivos de guerra. A través de Iraq y de Egipto llega a Túnez en tiempo de los aglabíes, esto es, antes del 909, y a al-Andalus antes de mediado el siglo X) en el garrapateo apresurado de notaciones numerales que ningún occidental entendía, nuestro buen Leonardo, a lomos de caballareria y con su inseparable ábaco insaculado bajo el brazo, perfecciona y acrecienta sus conocimientos viajando por Grecia, Siria, Egipto, Sicilia y el sur de Francia. Lugar, este ultimo, donde me gusta suponer, tuvo un encuentro con las traducciones sobre ciencia de Platón de Tívoli, uno de aquellos estudiantes-traductores vaganti que desarrollo su labor en Barcelona; porque en la obra de Fibonacci, como es natural dada la penuria documental sobre la época, es tarea casi imposible discernir, entre lo original y propio, y lo trasladado mediante el conocimiento de las pertinentes traducciones de los clásicos y orientales. A estas alturas no está de más hacer notar que, sobre la aparición en Occidente del sistema actual de representación de los números, se carece de toda precisión respecto a como, donde, cuando y en qué forma aparecieron estas cifras. Claro, que algo podemos llegar a intuir, si seguimos con atención lo que Juan Vernet Gines apunta en su impagable "HISTORIA DE LA CIENCIA ESPAÑOLA" al hablar del camino seguido para la introducción en Europa de determinados elementos culturales, así como de la superioridad cultural de los monasterios hispánicos respecto a los demás del mundo cristiano: "El análisis del manuscrito misceláneo 225 de Ripoll permite intuir el nombre de alguno de los autores traducidos, como, por ejemplo, Masallah y Abd al-Rahman al-Sufí, de los cuales resumieron sus obras sobre el astrolabio y es de suponer que construyeron, siguiendo sus instrucciones, alguno de estos instrumentos v.g., el astrolabio de Destombes, que, de ser auténtico, sería uno de los más antiguos, si es que no el más antiguo de los conocidos y de él -de su escritura uncial visigótica- derivarían las figuras de las cifras árabes de Occidente, que el monje Vigila, asistente a la consagración de Ripoll (977), habría llevado a su propio monasterio, Albelda, desde donde se habrían difundido también en todas direcciones"
Hacia el año 1200, bien cargado de experiencia aritmetica, Leonardo regresa a Pisa y da principio a una serie de obras que el tiempo, al menos en parte, parece haber respetado. De 1202 es el renombradisimo "Liber Abaci", del que hizo un refrito en 1228 para dedicárselo con todas la de la ley a Miguel Scoto, uno de esos vivalavirgen que se pegaban como lapas a los poderosos y levantaban horoscopos y chorradas de esas. El "Liber Abaci", fundamentalmente pensado para mercaderes y comerciantes, esta conformado por quince capítulos que, para que os hagais una idea de su manifiesta simplicidad, paso a enumerar:
Cap. 1: Lectura y escritura de los números en el sistema hindo-arábigo.
Cap. 2: Multiplicación de números enteros.
Cap. 3: Suma de números enteros.
Cap. 4: Resta de números enteros.
Cap. 5: División de números enteros.
Cap. 6: Multiplicación de números enteros por fracciones.
Cap. 7: Fracciones.
Cap. 8: Precios de las mercancias más comunes.
Cap. 9: Comercio.
Cap. 10: Relaciones de parentesco.
Cap. 11: Conversión de monedas.
Cap. 12: Problemas y soluciones.
Cap. 13: Regla de la falsa posición.
Cap. 14: Raíces cuadradas y raíces cúbicas.
Cap. 15: Proporciones, geometría y álgebra.
Algunos de los problemas propuestos en el "Liber Abaci" han sido incorporados al acerbo cultural disfrazados de adivinanzas o chascarrillos. Pondré, a modo de ejemplo, uno que solía plantearnos una de mis abuelas. Dice así: "Siete viejas viajan a Roma y cada una de ellas lleva siete mulas. Cada mula lleva siete sacos y en cada uno de ellos hay siete piezas de pan. En cada pan hay siete cuchillos y cada uno de ellos tiene siete dientes. ¿Cuántos dientes de cuchillo viajan a Roma?" Otros, es posible rastrearles hasta casi los inicios de la escritura; tal que el problema de la lanza, que se encuentra ya en una tablilla cuneiforme de de la I dinastía de Babilonia (c.200 a.c): "La punta de una lanza de veinte pies se apoya en una torre con la base a doce pies de distancia. Si la punta ha bajado cuatro pies, ¿cuanto se ha alejado su base del pie de la torre?" El correr del problema (por traducción) esta probado a través de los griegos, los árabes y entra en Occidente, como se ve, merced al "Liber Abaci". De las variantes más conocidas de este problema, que las tiene, puede citarse la que se encuentra en el comentario de Proclo al primer libro de Euclides.
Y, efectivamente, es en este libro donde Leonardo enuncia y da solución al famoso problema de los conejos que da nombre y origen a la serie o sucesión de Fibonacci, conocida hoy gracias al matemático francés, Edouard Lucas, un tipo interesado en la teoría de números que gustaba de escudriñar en viejos textos para recopilar problemas matemáticos que resultaran recreativos a la vez que educativos. La sucesión de Fibonacci es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ..., y no otra. Luego la que más arriba he apuntado, con los términos 6 y 3 como inicio, no es en puridad "la" sucesión de Fibonacci, con independencia del método para la formación de sus infinitos términos.
Sin entrar al trapo de los apologistas que sostienen que son menos los libros de Fibonacci conocidos que los perdidos, decir que de 1220 es "Practica geometriae", en el que aplica el nuevo sistema aritmético para la resolución de problemas geométricos. "Flos", un libro en el que soluciona algunos problemas propuestos mediante el uso de ecuaciones cuadradas y cúbicas, parece ser de 1225. Aunque he visto fechas contradictorias, el "Liber quadratorum", un brillante examen sobre las ecuaciones indeterminadas de 2º grado dedicado a Federico II, parece datar de dos años más tarde, es decir de 1227. Este Federico (1194-1250. Emperador del Sacro Imperio Romano, hijo de Enrique VI y Constanza de Sicilia, de quienes heredo el reino del mismo nombre. Proclamado emperador en 1212 y coronado en 1215, abandonó los asuntos de Alemania para dedicar toda su atención a Sicilia, donde se rodeó de una corte de poetas, filósofos y hombres de ciencia. En 1226 renovó sus pretensiones imperiales sobre Lombardia. Dos años más tarde se armó cruzado y ciñó la corona de Jerusalén, lo que no impidió que iniciara la célebre lucha entre el Pontificado y el Imperio), el del famoso códice sobre medicina y farmacología, el cruzado , el enterrado en compañía, parece ser que conoció a Fibonacci de primera mano y que, con posterioridad, sostuvo una intensa relación epistolar con él. Esto no es baladí, puesto que la ciencia depende mucho de las formas y métodos reales de comunicación. Y, en la mente de todos está que, para el historiador de la ciencia, las cartas privadas del tipo que apunto son una de las fuentes más importantes para situar históricamente los descubrimientos y la difusión de las nuevas ideas.
3. DE LO QUE POR FALTA DE TIEMPO NOS QUEDA EN EL TINTERO
Que no es otra cosa que un tontear, al alibí, con los números cíclicos, esa intrigante panda nacida al socaire de los primos que, tan a mano, parece caer a ilusionistas y engañabobos. No hace falta que diga ni una palabra más; si tenéis a bien leer el enlace que he colocado, inmediatamente os daréis cuenta de la sorpresiva ventaja con la que mi joven amigo va a jugar.
En fin, hora de irse con la música a otra parte. Haré alguna compra de ultima hora, tomare un par de copichuelas con los colegas y regresare a casa. Encenderé el árbol de navidad, cenare moderado para no ponerme malito y, bien pertrechado en mi sillón, encenderé un buen cigarro y me daré a la lectura, completamente ajeno a si el mundo gira o no gira.
Venga, a pasarlo bien.